Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

  • большая полуось (),
  • эксцентриситет (),
  • наклонение (),
  • долгота восходящего узла (),
  • аргумент перицентра (),
  • средняя аномалия ().
Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось   положительна[1] и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса[1][2][3].

Определяется знаком и величиной полной энергии тела:  [3]. Связана с положением и скоростью тела соотношением  , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела[1][2].

Эксцентриситет

 
Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается « » или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия[4]. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

 , где   — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины   орбита представляет собой[1][2][3][5]:

  •   — окружность
  •   — эллипс
  •   — параболу
  •   — гиперболу,   — мнимое число
  •   —
     
      – объект
      – центральный объект
      – плоскость отсчёта
      – плоскость орбиты
        – наклонение

    Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

    Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

    Если  , то движение небесного тела называется прямым[6].
    Если  , то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

    Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

    Долгота восходящего узла

    Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

    Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

    Формула нахождения долготы восх. узла:

     
     
     

    Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

    У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

    Аргумент перицентра

    Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

    При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

    Обозначается ( ).

    Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как  . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным[7].

    Средняя аномалия

     
    Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
     
    Аномалии (рис.3)

    Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

    Обозначается буквой   (от англ. mean anomaly)

    В звёздной динамике средняя аномалия   вычисляется по следующим формулам:

     

    где:

    •   — средняя аномалия на эпоху  ,
    •   — начальная эпоха,
    •   — эпоха, на которую производятся вычисления, и
    •   — среднее движение.

    Либо через уравнение Кеплера:

     

    где:

    •   — эксцентрическая аномалия (  на рис.3),
    •   —
      1. 1 2 3 4 Ишмухаметова М. Г., Кондратьева Е. Д. Решение задач по небесной механике и астродинамике : Учебно-методическое пособие для практических занятий по дисциплине «Небесная механика». — Казань : Физический факультет Казанского государственного университета, 2009. — 37 с.
      2. 1 2 3 С. А. Мирер. Механика космического полета.Орбитальное движение (2013). Дата обращения: 7 июня 2020. Архивировано 23 ноября 2018 года.
      3. 1 2 3 Е. И. Бутиков. Закономерности кеплеровых движений : Учебное пособие. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет, 2006. — 61 с.
      4. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, Архивная копия от 8 июля 2020 на Wayback Machine — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
      5. Keplerian Elements Tutorial (англ.). The Radio Amateur Satellite Corporation. Архивировано 14 октября 2002 года.
      6. То есть объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля
      7. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6. Celestial Mechanics // Fundamental Astronomy. — 5-е изд. — Springer Science & Business Media, 2007. — С. 117—118.

      Ссылки

      • Gurfil, Pini (2005). “Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits”. J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. DOI:10.2514/1.14760.
      • Tutorial. AMSAT. Архивировано 14 октября 2002 года.
      • Orbits Tutorial. marine.rutgers.edu. Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано 19 апреля 2021 года.