Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

  • большая полуось (),
  • эксцентриситет (),
  • наклонение (),
  • долгота восходящего узла (),
  • аргумент перицентра (),
  • средняя аномалия ().

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Эксцентриситет

Основная статья: Эксцентриситет орбиты
Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия[1]. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

, где  — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины орбита представляет собой[2][3][4]:

  •  — окружность
  •  — эллипс
  •  — параболу
  •  — гиперболу,  — мнимое число
  •  —

    В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось  положительна[2] и равна половине максимального размера эллипса в длину[5], то есть половине длины линии, соединяющей апоцентр и перицентр[2][3][4].

    Определяется знаком и величиной полной энергии тела: [4]. Связана с положением и скоростью тела соотношением , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела[2][3].

    Наклонение

     – объект
     – центральный объект
     – плоскость отсчёта
     – плоскость орбиты
       – наклонение

    Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

    Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

    Если , то движение небесного тела называется прямым[6].
    Если , то движение небесного тела называется обратным.

    Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

    Долгота восходящего узла

    Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

    Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

    Формула нахождения долготы восх. узла:

    Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

    У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

    Аргумент перицентра

    Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

    При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

    Обозначается ().

    Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным[7].

    Средняя аномалия

    Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
    Аномалии (рис.3)

    Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

    Обозначается буквой (от англ. mean anomaly)

    В звёздной динамике средняя аномалия вычисляется по следующим формулам:

    где:

    •  — средняя аномалия на эпоху ,
    •  — начальная эпоха,
    •  — эпоха, на которую производятся вычисления, и
    •  — среднее движение.

    Либо через уравнение Кеплера:

    где: