Поливектор

Поливектор (р-вектор) — элемент некоторой внешней степени ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{p}}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$. р-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на ${\displaystyle V}$.

Полусумму 1-вектора и скаляра так же называют паравектором^[1]. 2-вектор также называют бивектором, а 3-вектор — тривектором. р-вектор дуален к р-форме. Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращения.

Свойства:

• любая линейно независимая система векторов ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}}$ из ${\displaystyle V}$ определяет ненулевой р-вектор ${\displaystyle a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{p}}$; такие поливектора называется разложимыми, или простыми;
• линейно независимые системы ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}}$ и ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{p}}$ порождают одно и то же подпространство в ${\displaystyle V}$ в том и только в том случае, когда
      ${\displaystyle a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{p}=\lambda b_{1}\wedge b_{2}\wedge \dots \wedge b_{p}}$;
• для любого ненулевого поливектора ${\displaystyle t\in \bigwedge \nolimits ^{p}V}$ его аннулятор ${\displaystyle \operatorname {Ann} t=\{v\in V|t\wedge v=0\}}$ есть подпространство размерности ${\displaystyle \leq p}$, причём поливектор ${\displaystyle t}$ разложим тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \dim \operatorname {Ann} t=p}$;
• разложимые р-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в ${\displaystyle \Lambda ^{p}(V)}$ соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
• любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
• бивектор ${\displaystyle t}$ разложим тогда и только тогда, когда ${\displaystyle t\wedge t=0}$;
• Если фиксировать ненулевой ${\displaystyle n}$-вектор ${\displaystyle \omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)}$, то возникает естественный изоморфизм:

  ${\displaystyle \pi :\bigwedge \nolimits ^{p}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{n-p}(V)}$

  такой, что ${\displaystyle t\wedge u=\langle \pi (t),u\rangle \omega }$ для всех ${\displaystyle u\in \bigwedge \nolimits ^{n-p}(V)}$.

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — Наука, Москва, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.