красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании , если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Аффи́нное преобразование, иногда Афинное преобразование[1] (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся[2].

Определения

Геометрическое

Биекция евклидова пространства или плоскости в себя отображающая прямые в прямые называется аффинным преобразованием.

Алгебраическое

Аффинное преобразование есть преобразование вида

где  — обратимая матрица и .

Комментарии

  • Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны — это так называемая основная теорема аффинной геометрии.
  • Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
    1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ;
    2. Каждой точке пространства поставить в соответствие точку , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и в «старой».

Примеры

Примерами аффинных преобразований являются

  • движения;
  • растяжения;
    • При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
    • Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
    • Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

    Типы аффинных преобразований

    • Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
    • Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

    Матричное представление

    Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

    Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[3]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[4].

    Вариации и обобщения

    • В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел .
    • Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
    • Аффинные преобразования пространства являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства можно представить как аффинные преобразования пространства .

    См. также