Ноль

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 4₁₀ и 40₁₀; 4₁₆ и 40₁₆ (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи ${\displaystyle 7,70,700.}$ 

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
• Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

• Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
• Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием ${\displaystyle k}$  число делится на ${\displaystyle k^{n}}$ , если оно оканчивается на ${\displaystyle n}$  нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам^[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль^[8].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения^[9]:

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$  — натуральные числа, включая ноль: ${\displaystyle \{0,1,2,3,4\dots \}}$ .
• ${\displaystyle \mathbb {N^{*}} }$  — натуральные числа без нуля: ${\displaystyle \{1,2,3,4\dots \}}$ .

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1^[10]. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ ${\displaystyle \mathbb {N} }$  обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0}}$  и т. д.^[8]

Основные свойства нуля

• 0 — целое число.
• На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

• Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: ${\displaystyle 0/2=0}$ .
• Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: ${\displaystyle -0}$ , ${\displaystyle +0}$ , однако это не числа в обычном смысле.
• Любое число при сложении с нулём не меняется: ${\displaystyle a+0=0+a=a.}$  При вычитании нуля из любого числа получается то же число^[11]: ${\displaystyle a-0=a}$ .
• Умножение любого числа на ноль даёт ноль^[11]:

${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0.}$ 

• При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

${\displaystyle 0/a=0}$  при ${\displaystyle a\neq 0.}$ 

Деление на ноль

• Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=b}$ , то по определению деления формально должно быть ${\displaystyle b\cdot 0=a}$ , в то время как выражение ${\displaystyle b\cdot 0}$ , при любом ${\displaystyle b}$ , равно нулю. Другими словами, для нуля не существует

• Факториал нуля по соглашению^[12] принят равным единице: ${\displaystyle 0!=1}$ . При таком соглашении тождество ${\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n}$  будет верно и при ${\displaystyle n=1.}$ 
• Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: ${\displaystyle 0^{a}=0}$  при ${\displaystyle a>0}$ . Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
• Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: ${\displaystyle a^{0}=1}$ .
  • Выражение ${\displaystyle 0^{0}}$  (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла^[13][14][15], то есть неопределённым.

Связано это с тем, что функция двух переменных ${\displaystyle x^{y}}$  в точке ${\displaystyle \{0,0\}}$  имеет неустранимый разрыв.

В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$  где ${\displaystyle y=0,}$  она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$  где ${\displaystyle x=0,}$  она равна нулю. См. подробнее статью

• Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
• Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
• Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
• Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
• На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

• При вычислении предела отношения ${\displaystyle (a/b)}$ , где ${\displaystyle a\rightarrow 0}$  и ${\displaystyle b\rightarrow 0}$ , возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение ${\displaystyle (0/0)}$ , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: ${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$ , ${\displaystyle (0^{0})}$ , ${\displaystyle (\infty ^{0})}$ , ${\displaystyle (0\cdot \infty )}$ .
• Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:

• Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,}$  _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }}$ .
• Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,}$  _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }}$ .

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера ${\displaystyle n\times n}$  является нулевым элементом кольца квадратных матриц ${\displaystyle M_{n}(R)}$ . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, ${\displaystyle p(x)\equiv 0}$ .