*-алгебра

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

• антиавтоморфизмом, то есть

${\displaystyle \ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$ 

${\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ 

${\displaystyle \ 1^{*}=1}$ 

• и инволюцией, то есть

${\displaystyle \ (x^{*})^{*}=x.}$ 

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в ${\displaystyle R\subset A.}$ 

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A}$ .

*-гомоморфизм ${\displaystyle \ f:A\to B}$  — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

${\displaystyle f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.}$ 

• Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=x}$  называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
• Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=-x}$  называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
• Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{*}\cdot y}$ .

C*-алгебра

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,}$ 

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$ 

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.}$ 

• Самым известным примером являются комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$  с операцией сопряжения.
• Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
• Эрмитовое сопряжения

  Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

  • Если элемент 2 в кольце обратим, тогда ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-*)}$  и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+*)}$  является ортогональными идемпотентами. Как векторное пространство, алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
  • Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
  • Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют

    Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:

    x ↦ x*

    или

    x ↦ x^∗ (ΤΕΧ: x^*),

    но не «x∗» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта x, как в комплексном сопряжении, или x^† (поднятый типографский крестик).

    См. также

    • Операторные алгебры
    • • H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.