Тессеракт

Тессеракт
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{4,3,3}
Ячеек	8
Граней	24
Рёбер	32
Вершин	16
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	16-ячейник

Анимированная проекция вращающегося тессеракта

Тессеракт (от др.-греч. τέσσερες ἀκτῖνες — четыре луча) — четырёхмерный гиперкуб — куб в четырёхмерном пространстве. Другие названия: 4-куб, тетракуб (от др.-греч. τέτταρες — «четыре»), восьмияче́йник^[1], октахор (от др.-греч. οκτώ — «восемь» и χώρος — «место, пространство»), гиперкуб (если число измерений не оговаривается).

Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано Чарльзом Говардом Хинтоном (1853—1907) и впервые использовано в 1888 году в его книге «Новая эра мысли».

Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:

${\displaystyle [-1,1]^{4}\equiv \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}.}$

Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями ${\displaystyle x_{i}=\pm 1,\;i=1,2,3,4}$, пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Четырёхмерный гиперобъём тессеракта со стороной длиной a рассчитывается по формуле:
${\displaystyle V_{4}=a^{4}}$

Объём же гиперповерхности тессеракта можно найти по формуле:
${\displaystyle V_{3}(hypersurface)=8a^{3}}$

Радиус описанной гиперсферы:
${\displaystyle R=a}$

Радиус вписанной гиперсферы:
${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.

В одномерном «пространстве» — на линии — выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Построение тессеракта на плоскости

Развёртка тессеракта

Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат — стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.

Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями — боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» — трёхмерные грани — будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру — развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один — грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного — конечной «гиперграни».

Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

Разворачивание поверхности тессеракта в трёхмерное пространство

Аналогично тому, как поверхность куба может быть развёрнута в многоугольник, состоящий из шести квадратов, поверхность тессеракта может быть развёрнута в трёхмерное тело, состоящее из восьми кубов^[2].

Существует 261 развёртка тессеракта^[3]. Развёртки гиперкуба могут быть найдены перечислением «сдвоенных деревьев», где «сдвоенное дерево» (paired tree) — это дерево с чётным числом вершин, которые разбиты на пары так, что ни одна пара не состоит из двух смежных вершин. Между «сдвоенными деревьями» с 8 вершинами и развёртками тессеракта существует взаимно однозначное соответствие. Всего существует 23 дерева с 8 вершинами, при разбиении вершин которых на пары несмежных вершин получается 261 «сдвоенное дерево» с 8 вершинами^[4].

Крестообразная развёртка тессеракта является элементом картины Сальвадора Дали «Corpus Hypercubus» (1954)^[5].

В рассказе Роберта Хайнлайна «Дом, который построил Тил» («—And He Built a Crooked House») калифорнийский архитектор Квинтус Тил строит дом в форме развёртки гиперкуба, который во время землетрясения складывается в четырёхмерный тессеракт^[5].

На двумерное пространство

Данная структура сложна для воображения, но возможно спроектировать тессеракт в двумерные или трёхмерные пространства. Кроме того, проецирование на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в следующих примерах:

Первая картинка показывает, как тессеракт получен в результате комбинирования двух кубов. Схема подобна построению куба от двух квадратов

Вторая картинка иллюстрирует тот факт, что все рёбра тессеракта имеют одинаковую длину. Она примечательна тем, что все восемь кубов имеют одинаковый вид.

Третья картинка демонстрирует тессеракт в изометрии, относительно точки построения. Это изображение представляет интерес при использовании тессеракта как основания для топологической сети, чтобы связать многократные процессоры в параллельных вычислениях.

На трёхмерное пространство

Вращающаяся модель тессеракта. Эта модель показывает грани тессеракта — равные кубы

Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

• Шесть усечённых пирамид по краям тессеракта — это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для тессеракта — как квадраты (грани) для куба. Но на самом деле тессеракт можно разделить на бесконечное количество кубов, как куб — на бесконечное количество квадратов, или квадрат — на бесконечное число отрезков.

Ещё одна интересная проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой ромбододекаэдр с проведёнными четырьмя его диагоналями, соединяющими пары противоположных вершин при больших углах ромбов. При этом 14 из 16 вершин тессеракта проецируются в 14 вершин ромбододекаэдра, а проекции 2 оставшихся совпадают в его центре. В такой проекции на трёхмерное пространство сохраняются равенство и параллельность всех одномерных, двухмерных и трёхмерных сторон.

Стереопара тессеракта изображается как две проекции на плоскость одного из вариантов трёхмерного представления тессеракта. Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из этих изображений, возникает стереоскопический эффект, позволяющий лучше воспринять проекцию тессеракта на трёхмерное пространство.

• В одном эпизоде «Приключений Джимми Нейтрона» «мальчик-гений» Джимми изобретает четырёхмерный гиперкуб, идентичный фолдбоксу из романа «Дорога славы» (1963) Роберта Хайнлайна.
• В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.
• В рассказе «…И построил он себе скрюченный домишко» Хайнлайна описан восьмиквартирный дом в форме развёрнутого тессеракта.
• Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
• В романе Алекса Гарленда (1999), термин «тессеракт» используется для трёхмерной развёртки четырёхмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора, призванная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.
• Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных трёхмерных проекций одного «гиперкуба».
• В серии фильмов Кинематографическая вселенная Marvel Тессеракт — это ключевой элемент сюжета, космический артефакт в форме гиперкуба.
• Сюжет фильма Мстители сосредоточен на использовании куба «Тессеракт» как неиссякаемого источника космической энергии, для открытия портала в другое «измерение» с целью осуществления плана по захвату мира (в обмен на Тессеракт — читаури предоставят Локи армию для захвата Земли).
• В комиксе «Дэдпул уничтожает Вселенную Marvel» главный герой при помощи суперзлодея Аркады использует тессеракт, чтобы поймать Китти Прайд: её способности не смогли ей помочь выйти из куба.
• Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем.
• Кресты на некоторых христианских храмах и монастырях Египта напоминают развертку тессеракта.
• Комиксы «Nextwave comic book» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.
• В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».
• В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.
• В сериале «Школа „Чёрная дыра“» в третьем сезоне есть серия «Тессеракт». Лукас нажимает на секретную кнопку, и школа начинает «складываться, как математический тессеракт».
• Термин «тессеракт» и производный от него термин «тессировать» встречается в повести Мадлен Л’Энгл «Складка времени».
• TesseracT — название британской джент группы.
• В рассказе Роберта Шекли «Мисс Мышка и четвёртое измерение» писатель-эзотерик, знакомец автора, пытается увидеть тессеракт, часами глядя на сконструированный им прибор: шар на ножке с воткнутыми в него стержнями, на которые насажены кубы, обклеенные всеми подряд эзотерическими символами. В рассказе упоминается труд Хинтона.
• В инди-игре Fez Дот — компаньон главного героя — является тессерактом.
• Во вселенной Warhammer 40000 некроны используют технологию «карманных измерений», чтобы заключать осколки К’Тан в тессерактовые лабиринты — бесконечный лабиринт-тюрьму.
• В аниме Евангелион 3.33: Ты (не) исправишь Ева-01 была заключена в развёрнутый тессеракт на орбите Земли.
• В серии «Настоящий ты» из мультфильма «Время приключений» в виде 4-мерного мыльного пузыря
• В фантастическом рассказе Марка Клифтона «На ленте Мёбиуса» дети-вундеркинды путешествуют через пространство и время, используя модели ленты Мёбиуса, бутылки Клейна и тессеракта.
• В 11-й серии аниме «Space Dandy» показана подруга главного героя Катрин, которая является тессерактом.
• В инди-игре «The Bridge» тессеракт появляется после прохождения всех уровней в нормальном мире.
• В фильме "Мстители" 2012 года, показан инопланетный артефакт - космический куб, иначе именуемый как "Тессеракт". Основной особенностью данного артефакта является способность перемещать владельца между измерениями (портал в другие миры)

• Charles H. Hinton. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Gardner M. Mathematical Carnival. — Washington, D.C.: MAA, 1989. — P. 41-54, 272. — ISBN 0-88385-448-1.
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

На русском языке

• Получение из развертки
• Гиперкуб
• Программа Transformator4D. Формирование моделей трёхмерных проекций четырёхмерных объектов (в том числе и Гиперкуба).
• Программа, реализующая построение тессеракта и все его афинные преобразования, с исходниками на С++.
• Стереопара тессеракта с ребрами одинаковой длины.
• Вращение тессеракта - проекция в трёхмерном пространстве

На английском языке

• Tesseract
• Cut The Knot! The Tesseract
• Charles Howard Hinton
• A four dimensional version of Rubik’s Cube
• Fourth Dimension: Tetraspace
• Mushware Limited — программа вывода тессеракта (Tesseract Trainer, лицензия совместима с GPLv2) и шутер от первого лица в четырёхмерном пространстве (Adanaxis; графика, в основном, трёхмерная; есть версия под GPL в репозиториях ОС).