Правильный многогранник

Платоновы тела

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его

   В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников^[1]:

   Изображение	Правильный многогранник	Число вершин	Число рёбер	Число граней	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Тип пространственной симметрии
   	Тетраэдр	4	6	4	3	3	Td
   	Октаэдр	6	12	8	3	4	Oh
   	Гексаэдр	8	12	6	4	3	Oh
   	Икосаэдр	12	30	20	3	5	Ih
   	Додекаэдр	20	30	12	5	3	Ih

   Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».

   История

   Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

   В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

   Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

   Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида^[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

   В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

   Комбинаторные свойства

   • Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

     В + Г = Р + 2.

   • Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

   • Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

     p — число рёбер в каждой грани;

     q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

   Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

   Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
   тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
   октаэдр		6	12	8	{3, 4}
   гексаэдр (куб)		8	12	6	{4, 3}
   икосаэдр		12	30	20	{3, 5}
   додекаэдр		20	30	12	{5, 3}

   • Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

     ${\displaystyle p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.}$

   Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

   ${\displaystyle {\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}$

   Геометрические свойства

   Углы

   С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

   ${\displaystyle \sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$

   Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

   ${\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}},}$

   где ${\displaystyle h}$ принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

   Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект ${\displaystyle \delta }$ при любой вершине правильного многогранника:

   ${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$

   По теореме Декарта, он равен ${\displaystyle 4\pi }$ делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен ${\displaystyle 4\pi }$).

   Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

   ${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .}$

   Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (${\displaystyle 4\pi }$ стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

   Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение.

   Многогранник	Двугранный угол θ	${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}}$	Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)		Телесный угол, стягиваемый гранью
   тетраэдр	70.53°	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	60°	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)}$	${\displaystyle \approx 0.551286}$	${\displaystyle \pi }$
   куб	90°	1	90°	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \approx 1.57080}$	${\displaystyle 2\pi \over 3}$
   октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\arcsin \left({1 \over 3}\right)}$	${\displaystyle \approx 1.35935}$	${\displaystyle \pi \over 2}$
   додекаэдр	116.57°	${\displaystyle \varphi }$	108°	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle \pi -\operatorname {arctg} \left({\frac {2}{11}}\right)}$	${\displaystyle \approx 2.96174}$	${\displaystyle \pi \over 3}$
   икосаэдр	138.19°	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	60°, 108°	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)}$	${\displaystyle \approx 2.63455}$	${\displaystyle \pi \over 5}$

   Радиусы, площади и объёмы

   С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

   • Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
   • Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
   • Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

   Радиусы описанной (${\displaystyle R}$) и вписанной (${\displaystyle r}$) сфер задаются формулами:

   ${\displaystyle R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{q}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}}$

   ${\displaystyle r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}},}$

   где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

   ${\displaystyle \rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h)}},}$

   где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

   ${\displaystyle {R \over r}=\operatorname {tg} {\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{q}}.}$

   Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

   ${\displaystyle S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{p}}.}$

   Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

   ${\displaystyle V={1 \over 3}rS.}$

   Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

   Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
   тетраэдр	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$
   куб	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 8}$
   октаэдр	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}}$
   додекаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 60{\frac {\varphi }{\xi }}}$	${\displaystyle 20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}}$
   икосаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}}$

   Константы φ и ξ задаются выражениями

   ${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}.}$

   Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

   В больших размерностях

   Основная статья: Правильные многомерные многогранники

   • Всего существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:

   • Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный
     • Правильный многоугольник
     • Полуправильный многогранник
     • Многогранник Джонсона
     • Звёздчатый многогранник
     • Двойственный многогранник
     • 1. ↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
       2. ↑ Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101

       Ссылки

       	Платоновы тела на Викискладе

       • Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
       • Weisstein, Eric W. Platonic Solids (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
       • Фанаты математики/геометрия. (англ.)
       • Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
       • Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
       • Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
       • М. Веннинджер. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с.
       • Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2.
       • Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8.