Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

Совокупность всех невырожденных матриц порядка n образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Обычно обозначается[1] GL(n). Если требуется явно указать, какому полю K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут[2]: GL(n,K).

Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n,R), а если комплексные числа, то GL(n,C).

Матрица порядка n заведомо невырождена, если это:

  • диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу D(n,K));
  • верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу T(n,K));
  • нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
    1. Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы. ― М.: Наука, 1977. ― С. 268—271.
    2. Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. ― М.: Наука, 1986. ― С. 34.

    Литература

    • Кострикин А. И.  Введение в алгебру. ― М.: Наука, 1977. ― 496 с.
    • Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. ― М.: Наука, 1986. ― 304 с.