Норма вектора
Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:
-
- (неравенство треугольника);
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.
Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:
.
Действительно, из третьего свойства следует: , а из свойства 2 — .
Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой называется единичным или нормированным.
Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.
Норма матрицы
Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
- , причём только при ;
- , где ;
- ;
- .
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.
Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:
для всех .
Норма оператора
Норма оператора — число, которое определяется так:
-
,
-
где — оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .
Это определение эквивалентно следующему:
- Свойства операторных норм:
- , причём только при ;
- , где ;
- ;
- .
В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.
Линейные нормированные пространства
-
Гёльдеровы нормы -мерных векторов (семейство): ,
где (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:
-
-
, что также имеет название метрика L1, норма или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
-
, что также имеет название метрика L2, норма или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
- (это предельный случай ).
- Нормы функций в — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
-
— в смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
- Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив на , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).
«норма»
Особым случаем является (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей -нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.
Некоторые виды матричных норм
- Порожденные нормы :
- : -норма,
-
(евклидова норма) и (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы равна наибольшему сингулярному числу матрицы или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы : , где обозначает матрицу, сопряжённую к матрице .
- : -норма
-
Здесь — сопряжённая к матрица, — след матрицы.
- Поэлементная -норма ():
-
Норма Фробениуса: .
Топология пространства и норма
Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.