Многоугольник

Примеры многоугольников

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная.

Существуют три различных варианта определения многоугольника:

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
• Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол,
  • Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с ${\displaystyle n}$ вершинами называется ${\displaystyle n}$-угольником.

  

  Многоугольник, вписанный в окружность

  

  Многоугольник, описанный около окружности

  • Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
  • Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
  • Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
  • Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
  • Многоугольник называется
    • Сумма внутренних углов плоского ${\displaystyle n}$-угольника без самопересечений равна ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$.
    • Число диагоналей всякого ${\displaystyle n}$-угольника равно ${\displaystyle n(n-3)/2}$.

    Площадь

    • Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ — последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

    ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$, где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$.

    Квадрируемость фигур

    С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, такие что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$.

    Вариации и обобщения

    • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

    

    В Викисловаре есть статья «многоугольник»

    	Многоугольник на Викискладе