Расстояние

Расстояние в алгебре

Содержание термина «расстояние» в алгебре связано с понятием метрики и метрического пространства.

Метрическим пространством называется множество X, если дано такое отображение, называемое метрикой, X² в множество неотрицательных чисел, что для любых элементов a, b, c множества X выполняются следующие аксиомы, называемые аксиомами Фреше:

1) ${\displaystyle \rho (a;b)\geq 0}$ , притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы a и b равны;

2) ${\displaystyle \rho (a;b)=\rho (b;a)}$ ;

3) ${\displaystyle \rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)}$ .

Для третьей аксиомы частным случаем является неравенство треугольника.

Расстояние в множестве действительных чисел

Введение метрики

Для множества всех действительных чисел расстояние от числа a до числа b математики считают число ${\displaystyle |a-b|}$ .

Легко убедиться, что множество действительных чисел с данной метрикой будет являться метрическим пространством.

Доказательство

Первое условие выполняется, так как модуль любого действительного числа из определения - число неотрицательное, притом модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под модулем равно нулю, откуда, если равенство выполняется, то числа равны.

Второе свойство верно, так как из свойств модуля числа: ${\displaystyle |a-b|=|b-a|}$ .

Третье свойство выполняется, так как само свойство равносильно ${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$ , но ${\displaystyle (a-c)+(c-b)=a-b}$ , а модуль суммы всегда не превосходит суммы модулей.

Расстояние в множестве пар действительных чисел

Из основных метрик в множестве пар действительных чисел (а в графической интерпретации - множестве всех точек плоскости) выделяют две: метрику Декарта и метрику Евклида.

Метрика Декарта

Введение метрики

Для множества пар действительных чисел дана метрика Декарта:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))=|a-c|+|b-d|}$ .

Убедимся, что множество пар действительных чисел (R²) с введенной метрикой Декарта является метрическим пространством.

Доказательство

Первое свойство очевидно выполняется, так как сумма модулей, каждый из которых является неотрицательным числом - также число неотрицательное. Притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем равны нулю, но тогда и рассматриваемые элементы-пары множества также равны.

Второе свойство выполняется, так как ${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))=|a-c|+|b-d|=|c-a|+|d-b|=\rho ((c;d);(a;b))}$ .

Докажем третье свойство:

Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:

${\displaystyle |a-c|+|b-d|\leq |a-x|+|b-y|+|x-c|+|y-d|}$ . Данное неравенство верно, что следует из сложения двух следующих неравенств, доказанных ранее:

${\displaystyle |a-c|\leq |a-x|+|x-c|}$  и ${\displaystyle |b-d|\leq |b-y|+|y-d|}$ .

Метрика Евклида

Введение метрики

Для множества пар действительных чисел дана метрика Евклида:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}}$ .

Убедимся, что множество R² с введенной метрикой Евклида является метрическим пространством.

Доказательство

Первое свойство выполняется, так как арифметический корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Если же выполняется равенство нулю, то оба выражения возводимые в квадрат, равны нулю, откуда требуемое очевидно.

Второе свойство выполняется, так как ${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}={\sqrt {(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))}$ .

Докажем третье свойство:

Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:

${\displaystyle {\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}\leq {\sqrt {(a-e)^{2}+(b-f)^{2}}}+{\sqrt {(e-c)^{2}+(f-d)^{2}}}}$ . После возведения в квадрат и преобразования данного выражения приходим к следующему неравенству:

${\displaystyle (a-e)(e-c)+(b-f)(f-d)\leq {\sqrt {((a-e)^{2}+(b-f)^{2})((e-c)^{2}+(f-d)^{2})}}}$ , которое верно, что следует из неравенства Коши-Буняковского (при соответствующей замене разностей чисел).

Расстояние в геометрии

В геометрии расстояние между фигурами — минимально возможная длина отрезка между точкой, принадлежащей первой фигуре, и точкой, принадлежащей второй фигуре.

Расстояние между объектами — длина отрезка прямой, соединяющей два объекта. Расстояние в этом смысле является физической величиной с размерностью длины, значение расстояния выражается в единицах длины.

В физике расстояние меряется единицами длины, которые в большинстве систем измерений являются одной из основных единиц измерения. В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. Расстоянием также называют длину пути, пройденного объектом. В этом случае производной расстояния (радиус-вектора) по времени является скорость.

В проксемике понятие расстояния используют для описания личного пространства человека.

• Расстояние Левенштейна
• Промежуток (математика)
• Отрезок
• Интервал
• 	В Викисловаре есть статья «расстояние»

  Литература

  • Зенитное расстояние // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

  Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.