Метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.

Метрическое пространство есть пара ${\displaystyle (X,\;d)}$, где ${\displaystyle X}$ — множество, а ${\displaystyle d}$ — числовая функция, которая определена на декартовом произведении ${\displaystyle X\times X}$, принимает значения в множестве вещественных чисел, и такова, что

1. ${\displaystyle d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y}$ (аксиома тождества).
2. ${\displaystyle d(x,\;y)=d(y,\;x)}$ (аксиома симметрии).
3. ${\displaystyle d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)}$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

• множество ${\displaystyle X}$ называется подлежащим множеством метрического пространства.
• элементы множества ${\displaystyle X}$ называются точками метрического пространства.
• функция ${\displaystyle d}$ называется метрикой.

Замечания

• Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

  ${\displaystyle 0=d(x,\;x)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;x)=2{\cdot }d(x,\;y)}$.

• Если неравенство треугольника представить в виде

  ${\displaystyle d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)}$ для всех ${\displaystyle x,y}$ и ${\displaystyle z}$,

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

Обычно расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle d(x,\;y)}$ или ${\displaystyle \rho (x,\;y)}$.

• В метрической геометрии принято обозначение ${\displaystyle |xy|}$ или ${\displaystyle |xy|_{M}}$, если необходимо подчеркнуть что речь идет о ${\displaystyle M}$. Реже употребляются обозначения ${\displaystyle |x-y|}$ и ${\displaystyle |x-y|_{M}}$.
• В классической геометрии приняты обозначения ${\displaystyle XY}$ или ${\displaystyle |XY|}$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

• Биекция между различными метрическими пространствами ${\displaystyle (X,\;d_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,\;d_{Y})}$, сохраняющая расстояния, называется изометрией;
  • В этом случае пространства ${\displaystyle (X,\;d_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,\;d_{Y})}$ называются изометричными.
• Если ${\displaystyle M}$ подмножество множества ${\displaystyle X}$, то, рассматривая сужение ${\displaystyle d_{M}=d_{X}{\Big |}_{M}}$ метрики ${\displaystyle d_{X}}$ на множество ${\displaystyle M}$, можно получить метрическое пространство ${\displaystyle (M,\;d_{M})}$, которое называется подпространством пространства ${\displaystyle (X,\;d)}$.
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle M}$ называется внутренней, если любые две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к ${\displaystyle d(x,\;y)}$.
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ можно соединить кривой с длиной равной ${\displaystyle d(x,\;y)}$.
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

${\displaystyle B(x;\;r)=\{y\in M\mid d(x,\;y)<r\},}$

где ${\displaystyle x}$ есть точка в ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle r}$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество ${\displaystyle O}$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние ${\displaystyle d(x,\;S)}$ от точки ${\displaystyle x}$ до подмножества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle M}$ определяется по формуле:

${\displaystyle d(x,\;S)=\inf\{d(x,\;s)\mid s\in S\}.}$

Тогда ${\displaystyle d(x,\;S)=0}$, только если ${\displaystyle x}$ принадлежит замыканию ${\displaystyle S}$.

• Дискретная метрика: ${\displaystyle d(x,\;y)=0}$, если ${\displaystyle x=y}$, и ${\displaystyle d(x,\;y)=1}$ во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния ${\displaystyle d(x,\;y)=|y-x|}$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: ${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}$, где ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$, ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ — векторы.
• Пусть ${\displaystyle F(X,\;Y)}$ — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства ${\displaystyle X}$ в метрическое пространство ${\displaystyle Y}$. Расстояние между двумя отображениями ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ из этого пространства определяется как

  ${\displaystyle d_{F}(f_{1},\;f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),\;f_{2}(x))\colon x\in X\}.}$

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве ${\displaystyle X}$.

В частном случае, когда ${\displaystyle X}$ — компактное пространство, ${\displaystyle Y}$ — числовая прямая, получается пространство ${\displaystyle C(X)}$ всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть ${\displaystyle L[a,\;b]}$, ${\displaystyle R[a,\;b]}$, ${\displaystyle C[a,\;b]}$ — пространства функций на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  ${\displaystyle d(f_{1},\;f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.}$

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций ${\displaystyle C^{k}[a,\;b]}$ метрика вводится по формуле:

  ${\displaystyle d_{k}(f_{1},\;f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},\;f_{2}),\;d_{0}(f'_{1},\;f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},\;f_{2}^{(k)})\},}$

где ${\displaystyle d_{0}}$ — метрика равномерной сходимости на ${\displaystyle C[a,\;b]}$ (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  ${\displaystyle d(x,\;y)=\|y-x\|}$.

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

• Любое связное риманово многообразие ${\displaystyle M}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного графа ${\displaystyle G}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
• Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Множество компактных подмножеств ${\displaystyle K(M)}$ любого метрического пространства ${\displaystyle M}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

${\displaystyle D(X,\;Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x,\;y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,\;y)<r\end{matrix}}\right.\right\}.}$

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},\;y_{1}),\;(x_{2},\;y_{2}))=d_{X}(x_{1},\;x_{2})+d_{Y}(y_{1},\;y_{2});}$
  2. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},\;y_{1}),\;(x_{2},\;y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1},\;x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},\;y_{2})^{2}}};}$
  3. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},\;y_{1}),\;(x_{2},\;y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1},\;x_{2}),\;d_{Y}(y_{1},\;y_{2})\}.}$

Эти метрики эквивалентны друг другу.

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

• Для данного множества ${\displaystyle M}$, функция ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ называется псевдометрикой или полуметрикой на ${\displaystyle M}$ если для любых точек ${\displaystyle x,\;y,\;z}$ из ${\displaystyle M}$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,\;x)=0;}$
  2. ${\displaystyle d(x,\;y)=d(y,\;x)}$ (симметрия);
  3. ${\displaystyle d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)}$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в ${\displaystyle M}$ могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве ${\displaystyle M/\!\sim }$, где ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow d(x,\;y)=0}$.

• Для данного множества ${\displaystyle M}$, функция ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ называется квазиметрикой если для любых точек ${\displaystyle x,\;y,\;z}$ из ${\displaystyle M}$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,\;x)=0;}$
  2. ${\displaystyle d(x,\;y)\leqslant c\cdot d(y,\;x)}$ (квазисимметрия);
  3. ${\displaystyle d(x,\;z)\leqslant c\cdot (d(x,\;y)+d(y,\;z))}$ (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,\;z)\leqslant \max(d(x,\;y),\;d(y,\;z))}$.

• Иногда удобно рассматривать ${\displaystyle \infty }$-метрики, то есть метрики со значениями ${\displaystyle [0;\;\infty ]}$. Для любой ${\displaystyle \infty }$-метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

  ${\displaystyle d'(x,\;y)={\frac {d(x,\;y)}{1+d(x,\;y)}}}$ или ${\displaystyle d''(x,\;y)=\min {(1,\;d(x,\;y))}.}$

Также, для любой точки ${\displaystyle x}$ такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой ${\displaystyle x}$. В частности, любое пространство с ${\displaystyle \infty }$-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным ${\displaystyle \infty }$.

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства^[1] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

• Индуцированная метрика

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.